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1．一天，颐和园知春亭中有6位游客.请证明：他们之中必有三名互相认识或者互相不认识。 2．用红、黑两种颜色将一个2×9的长方形中的小方格随意染色，每个小方格染一种颜色，证明：至少有3列小方格中染的颜色完全相同。
3．用红、白、黑三种颜色给一个3×n的长方形中的每一个小方格随意染上一种颜色.n至少为多少时，才能保证至少有两列染色方式完全一样？
4．口袋中放有足够多的红、白、蓝色的球，现有31个人轮流从中取球，每人取三个。证明：至少有4个人取出的球的颜色完全相同。
5．六个小朋友每人至少有1本书，一共有20本书，试证明：至少有2个同学有相同数量的书。
答案：
1．分析：这是一个典型的抽屉原理的问题，因为两个人只有“认识”和“不认识”两种情况，也就是说，6个人（A、B、C、D、E、F），每一个人和其他5个人出现的情况分别属于“认识”和“不认识”两类（用两种颜色的线表示）， 因此，就会有一个人（A）与3个人（B、C、E）都不认识或都认识，假设有A这个人与B、C、E这3个人都不认识，我们再看这3个人（B、C、E）的关系，其中任何两个人不认识都使证题成立，如B、E两个人不认识，那么A、B、E这三个人的关系使得证题成立，如果没有任何两个人认识，则B、C、E这三个人的关系也使得证题成立。
 2．证明：用红色和黑色给2×9的小方格染色，我们以列为单位，每列出现的染色情况有：
（红 黑）、（红 红）、（黑 红）、（黑 黑）4种情况，因为是9列小方格，根据9÷4＝2……1，由“商＋1＝ 3”，可以知道至少有3列小方格中染的颜色完全相同。
3．分析：用红、白、黑色给3×n的小方格染色，我们以列为单位，每列出现的染色情况有27种，因此至少应该有27＋1＝28列时，可以保证至少有两列染色方式完全一样。即n＝28。
4．证明：由于口袋中有足够多的红、白、蓝球，因此取出三个球的情况可能有下面10种：
（红红红）、（白白白）、（蓝蓝蓝）、（红红白）、（红红蓝）、（白白红）、（白白蓝）（蓝蓝红）、（蓝蓝白）、（红白蓝）。一共31个人。由31÷10＝3……1，根据“商＋1＝ 4”可以知道，至少有4个人取出的球的颜色完全相同。
5．这道题目可以采用反证法进行证明。
证明：假设六个小朋友手中书的数量不相同，因为每人至少有1本书，则至少需要书的数量就是：
1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（本）
而实际只有20本书，也就是说假设不成立，因此至少有2个同学有相同数量的书。 (责任编辑：风) |